2017年高考全国Ⅲ卷文数试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(相关资料图)

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

2.复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.已知，则=

A. B.C. D.

5.设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是

A.[–3,0]B.[–3,2]C.[0,2] D.[0,3]

6.函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为

A. B.1 C. D.

7.函数y=1+x+的部分图像大致为

A. B. WWW.ziyuanku.com

C. D.

8.执行面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A.5B.4C.3D.2

9.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A.B.C. D.

10.在正方体中，E为棱CD的中点，则

A.B.C.D.

11.已知椭圆C：，(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A. B. C.D.

12.已知函数有唯一零点，则a=

A.B.C.D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，且ab，则m= .

14.双曲线(a>0)的一条渐近线方程为，则a= .

15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=，c=3，则A=_________。

16.设函数则满足的x的取值范围是__________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

设数列满足.

(1)求的通项公式;

(2)求数列 的前n项和.

18.(12分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

19.(12分)

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.

(1)证明：ACBD;

(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

20.(12分)

在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

21.(12分)

已知函数=lnx+ax2+2a+1)x.

(1)讨论的单调性;

(2)当a﹤0时，证明.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4―4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

23.[选修4—5：不等式选讲](10分)

已知函数=│x+1│–│x–2│.

(1)求不等式≥1的解集;

(2)若不等式≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题正式答案中/华-资*源%库

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A

7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C

填空题

13. 2 14. 5 15. 75 16. (-， )

解答题

17.解:

(1)因为+3+…+(2n-1) =2n，故当n≥2时，

+3+…+(-3) =2(n-1)

两式相减得(2n-1)=2

所以= (n≥2)

又因题设可得 =2.

从而{} 的通项公式为 =.

(2)记 {}的前n项和为 ，

由(1)知 = = - .

则 = - + - +…+ - = .

18.解：

(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900;

若最高气温位于区间 [20,25)，则Y=6300+2(450-00)-4450=300;

若最高气温低于20，则Y=6200+2(450-200)-4450= -100.

所以，Y的所有可能值为900,300，-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为 ，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

19.解：

(1)取AC的中点O连结DO，BO.

因为AD=CD，所以ACDO.

又由于△ABC是正三角形，所以ACBO.

从而AC平面DOB，故ACBD.

(2)连结EO.

由(1)及题设知ADC=90°，所以DO=AO.

在Rt△AOB中，.

又AB=BD，所以

，故DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以.

又△ABC是正三角形，且AB=BD，所以.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.

20.解：

(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：

设,,则满足所以.

又C的坐标为(01)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.

(2)BC的中点坐标为()，可得BC的中垂线方程为.

由(1)可得，所以AB的中垂线方程为.

联立又，可得

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为()，半径

故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上的截得的弦长为定.

21.解：

(1)f(x)的定义域为(0，+)，.

若a≥0，则当x(0，+)时，，故f(x)在(0，+)单调递增.

若a<0，则当x时，当x时，.故f(x)在单调递增，在单调递减.

(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在取得最大值，最大值为

.

所以等价于，即

设g(x)=lnx-x+1，则

当x(0,1)时，;当x(1，+)时，.所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1，+)单调递减.故当x=1时，g(x)得最大值，最大值为g(1)=0.所以当x>0时，g(x)≤0,.从而当a<0时，，即.

22.解：

(1)消去参数t得的普通方程：; 消去参数m得的普通方程 ：+2).

设P(x,y)，由题设得 消去k得 .

所以C的普通方程为.

(2)C的极坐标方程为

联立 得

故 ，从而， .

代入 得=5，WWW.ziyuanku.com所以交点M的极径为 .

23.解：

(1)

当x<-1时，f(x)≥1解;

当时，由f(x)≥1得，2x-1≥1，解得1≤x≤2;

当时，由f(x)≥1解得x2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由得m≤|x+1|-|x-2|-.而

|x+1|-|x-2|-

=≤，

且当x=时，|x+1|-|x-2|-.

故m的取值范围为(-].