准确区分集合概念与非集合概念，有助于避免犯混淆概念的逻辑错误。以下是小编分享给大家的关于集合的有关概念，希望能给大家带来帮助!

(资料图)

集合的有关概念：

1.集合的有关概念。——卓越小编v整理资料，仅供参考。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：

①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);

2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ，且 )

3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5)补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ;

②若 ， ，则 ;

③若 且 ，则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：

(1) 与 、?的区别;

(2) 与 的区别;

(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

集合中元素特征认识不明致误：

典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为()

A.3B.6C.8D.10

易错分析　本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x-y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解.

解析　∵B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，A={1,2,3,4,5}，

∴x=2，y=1;x=3，y=1,2;x=4，y=1,2,3;x=5，y=1,2,3,4.

∴B={(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的个数为10.

答案　D

温馨提醒　判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y);二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域，{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域，{(x，y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点.

遗忘空集致误：

典例：(4分)若集合P={x|x2+x-6=0}，S={x|ax+1=0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________.

易错分析　从集合的关系看，S⊆P，则S=∅或S≠∅，易遗忘S=∅的情况.

解析　(1)P={-3,2}.当a=0时，S=∅，满足S⊆P;

当a≠0时，方程ax+1=0的解集为x=-a1，

为满足S⊆P可使-a1=-3或-a1=2，

即a=31或a=-21.故所求集合为21.

答案　21

温馨提醒　(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时，存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论，如S=∅时，a=0;二是易忽略对字母的讨论.如-a1可以为-3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.

方法与技巧

1. 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2. 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化;对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号.

3. 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

失误与防范

1. 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

2. 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

3. 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

4. Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

5. 要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.

A组　专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1. (2012·广东)设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，则∁UM等于()

A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

答案　C

解析　∵U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4}，∴∁UM={3,5,6}.

2. (2011·课标全国)已知集合M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P=M∩N，则P的子集共有()

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

答案　B

解析　∵M={0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，∴M∩N={1,3}.

∴M∩N的子集共有22=4个.

3. (2012·山东)已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则(∁UA)∪B为 ()

A.{1,2,4} B.{2,3,4}

C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

答案　C

解析　∵∁UA={0,4}，B={2,4}，∴(∁UA)∪B={0,2,4}.

4. 已知集合M={x|x-1x≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N等于 ()

A.∅ B.{x|x≥1}

C.{x|x>1} D.{x|x≥1或x<0}

答案　C

解析　由x-1x≥0，得x(x-1)≥0，x≠1，

∴x>1或x≤0，∴M={x|x>1或x≤0}，N={y|y≥1}，

M∩N={x|x>1}.

二、填空题(每小题5分，共15分)

5. 已知集合A={1,3，a}，B={1，a2-a+1}，且B⊆A，则a=__________.

答案　-1或2

解析　由a2-a+1=3，得a=-1或a=2，经检验符合.由a2-a+1=a，得a=1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故a=-1或2.

6. 已知集合A={(0,1)，(1,1)，(-1，2)}，B={(x，y)|x+y-1=0，x，y∈Z}，则A∩B=_________.

答案　{(0,1)，(-1,2)}

解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x+y-1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可.

7. (2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3}，集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}，且A∩B=

(-1，n)，则m=________，n=________.

答案　-11

解析　A={x|-5

B={x|(x-m)(x-2)<0}，所以m=-1，n=1.

三、解答题(共22分)

8. (10分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}.

(1)若A∩B=[0,3]，求实数m的值;

(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围.

解　由已知得A={x|-1≤x≤3}，

B={x|m-2≤x≤m+2}.

(1)∵A∩B=[0,3]，∴m+2≥3.m-2=0，∴m=2.

(2)∁RB={x|xm+2}，∵A⊆∁RB，

∴m-2>3或m+2<-1，即m>5或m<-3.

9. (12分)设符号@是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，y∈A，都有x@y=xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的.设A={x|x=m+n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭?

解　设x=m1+n1，y=m2+n2，那么xy=(m1+n1)×(m2+n2)=(m1n2+m2n1)+m1m2+2n1n2.

令m=m1m2+2n1n2，n=m1n2+m2n1，则xy=m+n，

由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.

故A对通常的实数的乘法运算是封闭的.

B组　专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1. (2012·湖北)已知集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R}，B={x|0

A.1 B.2 C.3 D.4

答案　D

解析　用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数.

由x2-3x+2=0得x=1或x=2，∴A={1,2}.

由题意知B={1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.

2. (2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6}，B={4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是 ()

A.57 B.56 C.49 D.8

答案　B

解析　由S⊆A知S是A的子集，又∵A={1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S⊆A的S共有26=64(种)可能.又∵S∩B≠∅，B={4,5,6,7,8}，∴S中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S⊆A的所有子集S中，不含4,5,6的子集共有23=8(种)，∴满足题意的集合S的可能个数为64-8=56.

3. (2011·湖北)已知U={y|y=log2x，x>1}，P={y|y=x1，x>2}，则∁UP等于()

A.，+∞1 B.21

C.(0，+∞) D.(-∞，0]∪，+∞1

答案　A

解析　∵U={y|y=log2x，x>1}={y|y>0}，

P={y|y=x1，x>2}={y|0

∴∁UP={y|y≥21}=，+∞1.

二、填空题(每小题5分，共15分)

4. (2012·陕西改编)集合M={x|lg x>0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=____________.

答案　(1,2]

解析　M={x|lg x>0}={x|x>1}，

N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}，

∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1

5. 已知M={(x，y)|x-2y-3=a+1}，N={(x，y)|(a2-1)x+(a-1)y=15}，若M∩N=∅，则a的值为____________.

答案　1，-1，25，-4

解析　集合M表示挖去点(2,3)的直线，集合N表示一条直线，因此由M∩N=∅知，点(2,3)在集合N所表示的直线上或两直线平行，由此求得a的值为1，-1，25，-4.

6. 设A={x||x|≤3}，B={y|y=-x2+t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围是__________.

答案　(-∞，-3)

解析　A={x|-3≤x≤3}，B={y|y≤t}，

由A∩B=∅知，t<-3.

三、解答题

7. (13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0}，B={y|y=21x2-x+25，0≤x≤3}.

(1)若A∩B=∅，求a的取值范围;

(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求(∁RA)∩B.

解　A={y|ya2+1}，B={y|2≤y≤4}.

(1)当A∩B=∅时，a≤2，a2+1≥4，

∴≤a≤2或a≤-.

(2)由x2+1≥ax，得x2-ax+1≥0，

依题意Δ=a2-4≤0，∴-2≤a≤2.

∴a的最小值为-2.

当a=-2时，A={y|y<-2或y>5}.

∴∁RA={y|-2≤y≤5}，∴(∁RA)∩B={y|2≤y≤4}. 

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